{"id":345,"date":"2026-07-10T12:31:59","date_gmt":"2026-07-10T10:31:59","guid":{"rendered":"https:\/\/dali.science\/?p=345"},"modified":"2026-07-10T12:32:53","modified_gmt":"2026-07-10T10:32:53","slug":"simulation-optimisation-mathematique-en-sante","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/dali.science\/index.php\/2026\/07\/10\/simulation-optimisation-mathematique-en-sante\/","title":{"rendered":"Simulation et optimisation math\u00e9matique en sant\u00e9 : la boite \u00e0 outils m\u00e9connue de la d\u00e9cision"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Introduction<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Que ce soit seul ou combin\u00e9 \u00e0 d\u2019autres techniques d\u2019analyses et de mod\u00e9lisation,<strong> la simulation et l\u2019optimisation math\u00e9matique<\/strong> se sont impos\u00e9es comme des m\u00e9thodes de r\u00e9f\u00e9rence pour r\u00e9soudre les probl\u00e9matiques organisationnelles complexes, telles que celles que l\u2019on trouve dans le secteur de la sant\u00e9. Organiser un planning de bloc op\u00e9ratoire, \u00e9tudier le parcours patient ou l\u2019organisation d\u2019un territoire de sant\u00e9, autant de pr\u00e9occupations auxquelles l\u2019optimisation math\u00e9matique apporte des \u00e9l\u00e9ments de r\u00e9ponse.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les multiples exp\u00e9riences de DALI sur des projets de recherche de pointes nous ont appris \u00e0 utiliser ces m\u00e9thodes, \u00e0 questionner leurs r\u00e9sultats et \u00e0 les impl\u00e9menter. En effet, les contraintes pesant sur les syst\u00e8mes de soins sont extr\u00eamement complexes et challengent souvent les mod\u00e9lisations, nous amenant \u00e0 toujours remettre en question m\u00e9thodes et r\u00e9sultats en les confrontant \u00e0 nos connaissances du secteur et \u00e0 l\u2019expertise d\u2019expert des m\u00e9tiers de la sant\u00e9. Ces processus d\u2019am\u00e9liorations continues des mod\u00e8les permettent une utilisation \u00e9clair\u00e9e de l\u2019optimisation dans le domaine de la sant\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour comprendre les contraintes d\u2019utilisation de l\u2019optimisation et comment nous l\u2019employons dans nos projets sur des donn\u00e9es en vie r\u00e9elle, nous nous proposons de vous pr\u00e9senter ce qui se cache derri\u00e8re l\u2019optimisation math\u00e9matique et son utilisation.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em><strong>A quoi correspond l\u2019optimisation math\u00e9matique et comment est-elle utilis\u00e9e dans le secteur de la sant\u00e9 ?<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"719\" src=\"https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_optim-1024x719.png\" alt=\"Illustration du fonctionnement d'algorithmes d'optimisation math\u00e9matque.\" class=\"wp-image-354\" srcset=\"https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_optim-1024x719.png 1024w, https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_optim-300x211.png 300w, https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_optim-768x539.png 768w, https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_optim.png 1309w\" sizes=\"auto, (max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Optimisation math\u00e9matique<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Principes d&rsquo;optimisation<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>L\u2019optimisation <\/strong>est une branche des math\u00e9matiques qui vise \u00e0 \u201cr\u00e9soudre des probl\u00e8mes mod\u00e9lis\u00e9s sous la forme d\u2019\u00e9quations\u201d. Les d\u00e9cisions \u00e0 prendre pour r\u00e9soudre ce probl\u00e8me sont \u201cdes variables\u201d dont on cherche la valeur optimale. L\u2019objectif classique de ces m\u00e9thodes est de minimiser une <strong>fonction objectif<\/strong> (ex. co\u00fbt en \u20ac) en prenant en compte de plusieurs contraintes, qu l&rsquo;on mod\u00e9lise sous forme d\u2019in\u00e9quations (ex. ne pas d\u00e9passer un budget) qui limitent les choix de valeur de nos variables (ex. choix des d\u00e9penses).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans une repr\u00e9sentation de probl\u00e8mes r\u00e9els, la fonction objectif peut repr\u00e9senter typiquement un co\u00fbt financier (r\u00e9duire des co\u00fbts pour un commerce, pour une prise en charge de patient), un d\u00e9lai (minimiser des temps de transport) ou une combinaison de ces \u00e9l\u00e9ments (trouver un compromis entre la maitrise de couts, des d\u00e9lais de livraison faible et une qualit\u00e9 de service \u00e9lev\u00e9e). Les <strong>variables de d\u00e9cisions<\/strong> sont l\u2019\u00e9quivalent math\u00e9matique des d\u00e9cisions prises dans la vie r\u00e9elle (la quantit\u00e9 de produits \u00e0 concevoir dans une usine, des budgets \u00e0 investir, dans quelle ville ouvrir un entrep\u00f4t).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour r\u00e9capituler, un probl\u00e8me d\u2019optimisation est une <mark class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\">mod\u00e9lisation math\u00e9matique qui aide \u00e0 la r\u00e9solution de probl\u00e8mes r\u00e9els<\/mark>, et qui se compose :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>d\u2019une fonction objectif repr\u00e9sentant le but final du probl\u00e8me,<\/li>\n\n\n\n<li>de variables de d\u00e9cisions, qui sont les choix \u00e0 effectuer par l\u2019utilisateur,<\/li>\n\n\n\n<li>de contraintes limitant les d\u00e9cisions possibles.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple d&rsquo;optimisation math\u00e9matique en sant\u00e9<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Regardons ce que cela donne sur un exemple simple. Prenons le cas d\u2019une soci\u00e9t\u00e9 pharmaceutique produisant un m\u00e9dicament sous 2 conditionnements diff\u00e9rents: des flacons de 100 mL et de 300mL, et qui cherche \u00e0 maximiser ses profits. Les flacons de grande capacit\u00e9 rapportent 2\u20ac et les flacons standards 1\u20ac. L\u2019entreprise ne peut produire que 1000 boites en tout, dont 300 flacons de 300mL. En cons\u00e9quence, on cherche \u00e0 savoir combien de flacons de chaque capacit\u00e9 produire pour maximiser les profits de l\u2019entreprise.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On retrouve dans ce probl\u00e8me nos 3 \u00e9l\u00e9ments d\u2019int\u00e9r\u00eat :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>l\u2019objectif : maximiser le profit r\u00e9alis\u00e9,<\/li>\n\n\n\n<li>la variable de d\u00e9cision : la quantit\u00e9 de flacons \u00e0 produire,<\/li>\n\n\n\n<li>les contraintes de production : on ne peut pas produire autant que l\u2019on veut,<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce probl\u00e8me relativement simple permet d\u2019illustrer la mod\u00e9lisation de probl\u00e8mes r\u00e9els de mani\u00e8re math\u00e9matique. Dans la r\u00e9alit\u00e9, les objectifs sont souvent multiples (avoir la meilleure qualit\u00e9 de soins possible, r\u00e9duire les d\u00e9lais, maitriser les co\u00fbts, etc.) et m\u00e8nent \u00e0 la formulation de fonctions complexes qui tentent d\u2019\u00e9quilibrer les diff\u00e9rents aspects d\u2019un projet. Les contraintes nombreuses peuvent \u00eatre mal d\u00e9finies et affin\u00e9es au fil de l\u2019\u00e9volution du projet, et impliquent plusieurs aspects du probl\u00e8mes (r\u00e9glementation, capacit\u00e9 de production et contraintes temporelles). En cela, les observations des donn\u00e9es \u00e0 disposition et du terrain, ainsi que les discussions avec les experts impliqu\u00e9s sont essentielles pour aboutir \u00e0 une mod\u00e9lisation pertinente.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">G\u00e9n\u00e9ralisation des probl\u00e8mes d&rsquo;optimisation<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut g\u00e9n\u00e9raliser la formulation des probl\u00e8mes d\u2019optimisation de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-math\"><math display=\"block\"><semantics><mtable displaystyle=\"true\" columnalign=\"right left\" class=\"tml-jot\"><mtr><mtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mtext>minimiser<\/mtext><mspace width=\"1em\"><\/mspace><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mi>a<\/mi><mi>m<\/mi><mi>p<\/mi><mo separator=\"true\">;<\/mo><mi>f<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mtext>sous&nbsp;contraintes<\/mtext><mspace width=\"1em\"><\/mspace><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mi>a<\/mi><mi>m<\/mi><mi>p<\/mi><mo separator=\"true\">;<\/mo><mi>A<\/mi><mi>x<\/mi><mo>\u2264<\/mo><mi>b<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mi>a<\/mi><mi>m<\/mi><mi>p<\/mi><mo separator=\"true\">;<\/mo><mi>x<\/mi><mo>\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\begin{align*}\n\\text{minimiser} \\quad &amp;amp; f(x) \\\\\n\\text{sous contraintes} \\quad &amp;amp; A x \\leq b \\\\\n&amp;amp; x \\geq 0\n\\end{align*}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>o\u00f9 :<\/em><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><math data-latex=\"x \\in \\mathbb{R}^n\"><semantics><mrow><mi>x<\/mi><mo>\u2208<\/mo><msup><mi>\u211d<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">x \\in \\mathbb{R}^n<\/annotation><\/semantics><\/math> : le vecteur des variables de d\u00e9cision,<\/li>\n\n\n\n<li><math data-latex=\"f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}\"><semantics><mrow><mi>f<\/mi><mo lspace=\"0.2222em\" rspace=\"0.2222em\">:<\/mo><msup><mi>\u211d<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><mo>\u2192<\/mo><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}<\/annotation><\/semantics><\/math><a href=\"\\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}\"><\/a> : la fonction objectif,<\/li>\n\n\n\n<li><math data-latex=\"A \\in \\mathbb{R}^{m \\times n}\"><semantics><mrow><mi>A<\/mi><mo>\u2208<\/mo><msup><mi>\u211d<\/mi><mrow><mi>m<\/mi><mo>\u00d7<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">A \\in \\mathbb{R}^{m \\times n}<\/annotation><\/semantics><\/math> : la matrice des contraintes d&rsquo;in\u00e9galit\u00e9,<\/li>\n\n\n\n<li><math data-latex=\"b \\in \\mathbb{R}^m\"><semantics><mrow><mi>b<\/mi><mo>\u2208<\/mo><msup><mi>\u211d<\/mi><mi>m<\/mi><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">b \\in \\mathbb{R}^m<\/annotation><\/semantics><\/math>: le vecteur des bornes d\u2019in\u00e9galit\u00e9,<\/li>\n\n\n\n<li><math data-latex=\"n,m\"><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">n,m<\/annotation><\/semantics><\/math> : le nombre de variables de d\u00e9cisions et de contraintes.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">L&rsquo;objectif peut aussi s&rsquo;exprimer sous forme de maximisation selon la finalit\u00e9 du probl\u00e8me.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Notre exemple de la soci\u00e9t\u00e9 pharmaceutique se mod\u00e9lise ainsi :<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-math\"><math display=\"block\"><semantics><mtable displaystyle=\"true\" columnalign=\"right left\" class=\"tml-jot\"><mtr><mtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mtext>maximiser<\/mtext><mspace width=\"1em\"><\/mspace><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mi>a<\/mi><mi>m<\/mi><mi>p<\/mi><mo separator=\"true\">;<\/mo><mn>2<\/mn><mi>u<\/mi><mo>+<\/mo><mi>v<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mtext>sous&nbsp;contraintes<\/mtext><mspace width=\"1em\"><\/mspace><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mi>a<\/mi><mi>m<\/mi><mi>p<\/mi><mo separator=\"true\">;<\/mo><mi>u<\/mi><mo>+<\/mo><mi>v<\/mi><mo>\u2264<\/mo><mn>1000<\/mn><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mspace width=\"1em\"><\/mspace><\/mtd><mtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mi>a<\/mi><mi>m<\/mi><mi>p<\/mi><mo separator=\"true\">;<\/mo><mi>u<\/mi><mo>\u2264<\/mo><mn>300<\/mn><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\begin{align*}\n\\text{maximiser} \\quad &amp;amp; 2u + v \\\\\n\\text{sous contraintes} \\quad &amp;amp; u + v \\leq 1000 \\\\\n\\quad &amp;amp; u \\leq 300 \\\\ \n\\end{align*}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">o\u00f9 <math><semantics><mrow><mi>u<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u<\/annotation><\/semantics><\/math> et <math><semantics><mrow><mi>v<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v<\/annotation><\/semantics><\/math> repr\u00e9sentent les quantit\u00e9s de flacons de 300 mL et 100 mL, <math data-latex=\"f(u,v)\"><semantics><mrow><mi>f<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>u<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>v<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">f(u,v)<\/annotation><\/semantics><\/math>, le b\u00e9n\u00e9fice \u00e0 maximiser, et les contraintes limitent le nombre total de flacons et la production en grand format.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ces \u00e9l\u00e9ments de mod\u00e9lisation servent \u00e0 formaliser les probl\u00e9matiques de nos projets et \u00e0 communiquer avec nos partenaires. Choix de mod\u00e9lisation, m\u00e9thodes de r\u00e9solution et r\u00e9sultats sont constamment discut\u00e9s avec les experts terrain pour valider les d\u00e9cisions.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On utilise diff\u00e9rents algorithmes pour r\u00e9soudre num\u00e9riquement ces probl\u00e8mes. Pour les probl\u00e8mes de taille raisonnable, des m\u00e9thodes exactes suffisent. Mais dans nos projets en vie r\u00e9elle, la complexit\u00e9 du probl\u00e8me augmente r\u00e9guli\u00e8rement. On utilise alors des m\u00e9thodes d&rsquo;approximation, dites m\u00e9taheuristiques. Ces m\u00e9thodes explorent l&rsquo;espace des solutions en suivant des strat\u00e9gies pr\u00e9cises. Elles ne garantissent pas la solution optimale, mais conservent un temps de calcul raisonnable.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les r\u00e9sultats obtenus sont rarement applicables tels quels sur le terrain : un travail d&rsquo;adaptation reste n\u00e9cessaire avec les \u00e9quipes impliqu\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">M\u00e9thode de r\u00e9solution : la Recherche Tabou (Tabu Search)<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une des techniques m\u00e9taheuristiques les plus utilis\u00e9es est la \u00ab\u00a0Recherche Tabou\u00a0\u00bb, une strat\u00e9gie de recherche qui consiste \u00e0 explorer des solutions proches du point de d\u00e9part. On choisit la meilleure solution du voisinage et on recommence jusqu\u2019\u00e0 ce que l\u2019algorithme n\u2019am\u00e9liore plus ses r\u00e9sultats. Ensuite, on ajoute les solutions \u00e0 la liste des Tabous et exclues du champs de recherche pour un temps donn\u00e9. Cela permet \u00e0 l&rsquo;algorithme de ne pas se bloquer sur des solutions d\u00e9j\u00e0 explor\u00e9es par le pass\u00e9. On arr\u00eate la recherche lorsque l&rsquo;on am\u00e9liore plus les solutions obtenues. Pour r\u00e9sumer l\u2019algorithme fonctionne de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"934\" src=\"https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_tabu-1024x934.png\" alt=\"Sch\u00e9ma du fonctionnement de la recherche Tabou en optimisation math\u00e9matique\" class=\"wp-image-355\" srcset=\"https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_tabu-1024x934.png 1024w, https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_tabu-300x274.png 300w, https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_tabu-768x700.png 768w, https:\/\/dali.science\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/fig_tabu.png 1410w\" sizes=\"auto, (max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<p class=\"encadre-tabou has-background wp-block-paragraph\" style=\"background:linear-gradient(90deg,rgba(7,146,227,0.26) 0%,rgba(155,81,224,0.29) 100%)\"><strong><mark class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\">Fonctionnement de la Recherche Tabou<\/mark><\/strong><br>On note <math data-latex=\"s*\"><semantics><mrow><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s*<\/annotation><\/semantics><\/math> la solution initiale, et <math data-latex=\"s\"><semantics><mi>s<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s<\/annotation><\/semantics><\/math> les solutions possibles. T est la liste des solutions Tabous.<br>&#8211;  On d\u00e9finit la <strong>solution initiale<\/strong> (la situation actuelle du syst\u00e8me \u00e9tudi\u00e9): <math data-latex=\"s*\u2190s1\"><semantics><mrow><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><mo stretchy=\"false\">\u2190<\/mo><mi>s<\/mi><mn>1<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s*\u2190s1<\/annotation><\/semantics><\/math>,<br>&#8211;  La <strong>liste des tabous<\/strong> est vide: <math data-latex=\"T \u2190 []\"><semantics><mrow><mi>T<\/mi><mo stretchy=\"false\">\u2190<\/mo><mo stretchy=\"false\" form=\"prefix\">[<\/mo><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">]<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">T \u2190 []<\/annotation><\/semantics><\/math>, elle contiendra les solutions retenus et \u00e0 ne plus explorer.<br><br><span style=\"text-decoration: underline\">On r\u00e9p\u00e8te ensuite<\/span> :<br>1.    Exploration du voisinage de <math data-latex=\"s*\"><semantics><mrow><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s*<\/annotation><\/semantics><\/math>: on g\u00e9n\u00e8re des solutions proches de <math data-latex=\"s*\"><semantics><mrow><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s*<\/annotation><\/semantics><\/math>,<br>2.   On \u00e9value la valeur de la fonction objectif pour chaque solution du voisinage,<br>3.   On identifie <math data-latex=\"s_{sol}\"><semantics><msub><mi>s<\/mi><mrow><mi>s<\/mi><mi>o<\/mi><mi>l<\/mi><\/mrow><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s_{sol}<\/annotation><\/semantics><\/math> la meilleure solution sur le voisinage,<br>4.   La solution <math data-latex=\"s*\"><semantics><mrow><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s*<\/annotation><\/semantics><\/math> est <strong>ajout\u00e9e \u00e0 la liste des Tabous<\/strong> pour les it\u00e9rations suivantes, <math data-latex=\"T \u2190s*\"><semantics><mrow><mi>T<\/mi><mo stretchy=\"false\">\u2190<\/mo><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">T \u2190s*<\/annotation><\/semantics><\/math>,<br>5.   Le <strong>meilleur voisin<\/strong> est retenu comme <strong>solution r\u00e9f\u00e9rence<\/strong> : <math data-latex=\"s* \u2190 s_{sol}\"><semantics><mrow><mi>s<\/mi><mo>\u2217<\/mo><mo stretchy=\"false\">\u2190<\/mo><msub><mi>s<\/mi><mrow><mi>s<\/mi><mi>o<\/mi><mi>l<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">s* \u2190 s_{sol}<\/annotation><\/semantics><\/math>.<br><br>On arr\u00eate d\u2019it\u00e9rer lorsque la valeur de la fonction objectif ne s\u2019am\u00e9liore plus pendant trop d\u2019it\u00e9rations successives. A noter que le meilleur voisin retenu n\u2019est pas forc\u00e9ment meilleure que la solution d&rsquo;origine. Cela permet \u00e0 l&rsquo;algorithme d&rsquo;explorer progressivement le voisinage et de ne pas se bloquer sur un optimum local.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Simulation num\u00e9rique<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La simulation num\u00e9rique d\u00e9signe une <strong>repr\u00e9sentation num\u00e9rique d\u2019un syst\u00e8me r\u00e9el<\/strong> et l\u2019\u00e9tude de son \u00e9volution dans le temps. On l&rsquo;utilise pour pr\u00e9voir \u00e0 l\u2019avance l\u2019\u00e9tat final du syst\u00e8me dont on connait l\u2019\u00e9tat initial, ou visualiser son \u00e9volution dans des conditions particuli\u00e8res. Il peut s\u2019agir d\u2019un syst\u00e8me physique (r\u00e9acteur d\u2019avion, organe), organisationnel (un h\u00f4pital), ou humain (individu population). Plusieurs types de simulations existent, comme la simulation \u00e0 \u00e9v\u00e8nements discrets ou multi-agents, et sont d\u00e9crites dans notre pr\u00e9c\u00e9dent article : <a href=\"https:\/\/dali.science\/index.php\/2025\/08\/01\/la-simulation-de-flux-au-service-des-soignants\/\" data-type=\"post\" data-id=\"205\">La simulation de flux au service des soignants<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les applications de la simulation num\u00e9rique en sant\u00e9 sont multiples et peuvent servir des objectifs vari\u00e9s :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Organisationnel<\/strong> : \u00e9tude des centres hospitaliers, transports de patients, blocs op\u00e9ratoires. Permet de calculer l\u2019impact de changements d\u2019organisation sur les ressources.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Aide \u00e0 la d\u00e9cision<\/strong> (politiques de sant\u00e9) : analyser l\u2019impact des politiques de sant\u00e9 sur les territoires,<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Mod\u00e9lisation clinique<\/strong> : \u00e9volution du patient en fonction des soins re\u00e7us (par exemple simulation de l\u2019effet d\u2019un traitement sur les constantes \/ la sant\u00e9)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Par exemple : propagation d\u2019\u00e9pid\u00e9mie et mod\u00e8le SIR (Susceptibles, Infectieux, Remis): cr\u00e9er une population et voir l\u2019impact de diff\u00e9rents param\u00e8tres (distanciation sociale, viralit\u00e9 de la maladie) sur la propagation.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background wp-block-paragraph\" style=\"background:linear-gradient(90deg,rgba(7,146,227,0.26) 0%,rgba(155,81,224,0.29) 100%)\"><strong><mark class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\">Mod\u00e8le SIR<\/mark><\/strong><br>On cr\u00e9e une population d\u2019agents ayant certaines caract\u00e9ristiques et comportement :<br><br>&#8211; Leur statut par \u00e0 l\u2019\u00e9pid\u00e9mie (<strong>S<\/strong>usceptibles de contracter la maladie &#8211; <strong>I<\/strong>nfect\u00e9s &#8211; <strong>R<\/strong>\u00e9tablis),<br>&#8211; Leur cercle social : avec quels autres agents ils ont des contacts (via le travail, les cercles familiaux),<br>&#8211; Leurs comportement : respect de la distanciation sociale, etc.<br><br>De la situation initiale des patients et de la situation (viralit\u00e9, personnes infect\u00e9es) l\u2019ordinateur calcule la propagation de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie et les r\u00e9missions.<br>L&rsquo;ordinateur utilise ensuite ces param\u00e8tres et la situation (viralit\u00e9 et personnes infect\u00e9es) pour calculer la propagation de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Simulation et optimisation<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La simulation num\u00e9rique permet d\u2019\u00e9valuer un sc\u00e9nario pr\u00e9cis et peut \u00eatre utilis\u00e9e en combinaison avec un mod\u00e8le d\u2019optimisation math\u00e9matique. On utilise alors le <strong>mod\u00e8le de simulation<\/strong> pour \u00e9valuer la <strong>fonction objectif<\/strong> utilis\u00e9e dans le <strong>mod\u00e8le d\u2019optimisation<\/strong>. Cela permet d\u2019obtenir une valeur dans les cas o\u00f9 la fonction est difficilement calculable analytiquement ou pour les syst\u00e8mes comportant une <strong>forte variabilit\u00e9<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans le cas de mod\u00e8les organisationnels d\u2019h\u00f4pitaux par exemple, les dur\u00e9es de s\u00e9jours de patients comportent une part d\u2019al\u00e9atoire, les disponibilit\u00e9s d\u2019\u00e9quipements m\u00e9dicaux (imagerie, bloc op\u00e9ratoires, etc.) sont conditionn\u00e9es aux temps de traitement individuels de chaque patients. Ainsi les mod\u00e8les de simulation permettent de composer avec ces incertitudes fortes lors de l\u2019\u00e9valuation de la fonction objectif. On passe alors d\u2019une <strong>analyse d\u00e9terministe<\/strong> \u00e0 une <strong>interpr\u00e9tation probabiliste<\/strong> de l\u2019\u00e9valuation d\u2019une solution.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans le cas de <strong>l\u2019algorithme de Tabu Search<\/strong> expliqu\u00e9 plus haut, l\u2019\u00e9valuation de la fonction objectif pour chaque solution explor\u00e9e est faite via la simulation. On simule plusieurs instances de la simulation (ou runs) en parall\u00e8le, et on \u00e9tudie le comportement de la fonction objectif. De cette mani\u00e8re, les conditions de choix de la meilleure solution sont adapt\u00e9es aux ph\u00e9nom\u00e8nes d\u2019incertitudes li\u00e9es \u00e0 la simulation.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Conclusion<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En sant\u00e9, l\u2019optimisation math\u00e9matique est un outil puissant, qui propose une solution pr\u00e9cise \u00e0 une abstraction d\u2019un probl\u00e8me concret. Utilis\u00e9e en lien avec la simulation, elle peut ainsi prendre en compte des contraintes organisationnelles et des effets de bords qu\u2019une mod\u00e9lisation math\u00e9matiques peut passer sous silence. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">DALI s\u2019attache \u00e0 mod\u00e9liser de mani\u00e8re responsable les organisations \u00e9tudi\u00e9es et \u00e0 s\u2019adapter aux sp\u00e9cificit\u00e9s de chaque syst\u00e8me. La personnalisation et la prise en compte des contraintes op\u00e9rationnelles des syst\u00e8mes de sant\u00e9 sont au c\u0153ur de nos projets.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introduction Que ce soit seul ou combin\u00e9 \u00e0 d\u2019autres techniques d\u2019analyses et de mod\u00e9lisation, la simulation et l\u2019optimisation math\u00e9matique se sont impos\u00e9es comme des m\u00e9thodes de r\u00e9f\u00e9rence pour r\u00e9soudre les probl\u00e9matiques organisationnelles complexes, telles que celles que l\u2019on trouve dans le secteur de la sant\u00e9. Organiser un planning de bloc op\u00e9ratoire, \u00e9tudier le parcours patient ou l\u2019organisation d\u2019un territoire de sant\u00e9, autant de pr\u00e9occupations auxquelles l\u2019optimisation math\u00e9matique apporte des \u00e9l\u00e9ments de r\u00e9ponse. 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